K-set

duality between point and line

二维平面上有一条直线 和一个点 ，现在我想描述一下点和直线之间的相对位置； 点如果在直线上面，说明 的时候直线取得的 小于 ,也就是说 ，这里也可以将 看成系数， 当成带入的坐标，表示的意思变成 这个点位于直线 的上面

upper envelope of linear functions

现在二维平面上有很多条直线，我想找到最上面的边缘线(upper envelope)

fig1

假设在横坐标为 处直线 位于 upper envelope 上，这个点 位于所有其他直线上方， 那么根据对偶，这些直线对偶对应的点也都位于点 对应的直线的上方，而实际上这条直线就是凸包的下边缘， 因为它一定过某个直线对偶对应的点。

k-level

k-level 是推广的upper envelope，找的是最上面的k条直线(实际上定义是下方正好有k条直线的那个边缘线)， 也就是需要找到正好上方有k-1条直线的那个边缘线。这个边缘线上的点上方应该有恰好k-1条直线， 下方有n-k条直线。类似upper envelope 的处理，研究和直线互为对偶的点。要找的是一个类似凸包下边缘的东西 上的点，这些点对应的直线就是能够出现在k-level 边缘线上的那些直线。

下面是 1999 Timothy M. Chan 中的算法

首先容易的方法是枚举所有直线的交点 ，然后对这些交点分出的所有区间计算最大的k个直线（应该是 ， 个区间，每个区间用median of medians线性时间找到top k）

1999 Timothy M. Chan 的思路是从左到右扫描x轴，维护两个优先队列，一个维护在当前的x rank小于k的直线是哪些，一个维护大于等于k的是哪些。如果把 横轴x看成时间，优先队列在维护一些会在一维直线上做匀速运动的点，这种东西叫做 kinetic data structure，实现方法先不讨论

有了这种数据结构之后就可以按照这样的步骤维护 k-level: fig2 可以看出来k-level的复杂度就相当于m次插入、大小为n的这种优先队列维护起来的复杂度 ## detail

目前 kinetic priority queue 的复杂度

kinetic priority queue 需要实现的操作： - 插入点 - 删除点 - advance（把时间往后推） - 维护最小值

文中讨论复杂度基于两个上界：优先队列中点的数量的上界 ，插入操作的数量上界

Observation 2.1 For elements moving linearly, the number of times S.min changes is .

实际上kinetic priority queue在维护的是一个子集的lower envelope，lower envelope上的breakpoint数量有 上限 （来源见1999 Timothy M. Chan）(这个奇怪复杂度是怎么来的？zh.wikipedia, en.wikipedia lower envelope 上的线段编号写成一个序列就 是这个Davenport–Schinzel sequence)

实际上这个界对于直线是非常不紧的，线段才可能产生长度为4的交替子序列，直线只能产生长度为2的；所以线段是3阶DS sequence而 直线是1阶，从对偶对应的凸包也可以看出breakpoint上限是 ，所以文章这里考虑的是带上插入删除操作的

使用暴力方法，复杂度

复杂度这里实际上算的是从一个空的KPQ开始，插入点，删除点，advance，按照需要进行操作，直到 花费的时间； Observation给出了advance操作的数量上限，每次advance必然发生 改变。插入和删除操作数量上界是 。

文章中用分治，把每个kinetic priority queue 维护的集合分成 组，每组用一个kinetic priority queue维护( )， 然后再用一个额外的kinetic priority queue 维护这r个子队列最小值的最小值

KPQ 只需要暴露出上面说的四种操作，首先 如下，很好理解 fig3

:

fig4

insert 把要插入的元素放在大小最小的那个子队列 中，然后更新 中的那个 ，最后维护

delete 完全类似

表示递归方法中一个KPQ做advance操作的数量

其中 （所有插入次数被分配到了每个子队列中）

层数 个数 工作量(一整层)
1 1
2 r
3 (r个一组，一共r组)
… … …

最后得到

sum里面直接取最大值，可以得到上面的结果

复杂度：

RHS第二项需要解释， 完全是上面 和 维护产生的复杂度， 现在文章认为 使用暴力方法，插入删除操作复杂度都是 ， A5说明每次 的最小值改变 都会进行一次插入和一次删除，所以 就会让 产生 次插入和删除，每次 ， 这部分复杂度就是 （因为n小于m，队列中的元素数量肯定小于插入次数， 执行次数一定少于 ，这里不用继续考虑D5和I5操作了）；其次是A1和M2中找 最小的P，单独用一个大小为r的堆来 维护这个信息，回答A1和M2是常数时间，但是每次任意一个 发生改变或者发生插入删除的时候都要 时间维护， 需要 ，令

这种递归方法我写了代码github

感觉写的有点丑陋，而且用的是boost的heap

优化

需要用到 semi dynamic convex hull （只支持删除操作的动态凸包）， 去查了一下发现很多有趣的结果， - KIRKPATRICK二维平面凸包竟然做到 n是输入大小，k是输出大小。 - 完全动态的凸包（支持插入和删除）Overmars 做到了 - semi dynamic convex hull 仅插入单次操作可以做到单次 ，仅删除可以做到单次均摊

先不讨论semi dynamic convex hull的实现，如果已经有了一个维护删除操作下的凸包的数据结构，如何实现一个仅支持删除操作的KPQ？

首先如果是仅删除的KPQ，寻找最小值实际上就是在一些都从左端点在x=0、右端点位置不同的线段组成的 lower envelope， 同样根据上面的 DS sequence ， 可以看出两个线段组成最长交替子序列长度是3，是一个2阶DS sequence，得知 次数上界也是

那么我们可以先算出最开始的 lower envelope（一个凸包， ）然后再用semi dynamic convex hull去维护 删除操作，n个删除操作只需要 于是借用上面定义的衡量KPQ的复杂度

这种方法先不写了，我认为我能把它成功写出的概率不大，而且过于复杂。首先上面说的 semi dynamic convex hull 只能做到只处理插入操作和只处理删除操作， 得到的 kinetic priority queue 也是只能支持一种操作， 1980 Bentley & Saxe 发明了用一种叫做binary-counting的技巧把只支持一种操作的数据结构变成支持插入和删除的，维护的时间加一个 ； 为了消除掉这个 还需要使用什么 b-ary。 最终复杂度能达到

随机化版本

AGARWAL et al.

对于 上的k-level[CS89]K. L. CLARKSON AND P. W. SHOR, Applications of random sampling in computational geometry, II, Discrete Comput. Geom., 4 (1989), pp. 387–421 证明了复杂度是 ，上面链接中二维平面k-level复杂度 是 应该在到目前为止随机化算法中worst case是最优的